EQUAÇÃO DE 1° GRAU

EQUAÇÃO DE 1° GRAU

SENTEÇAS
Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa

exemplo de uma sentença verdadeira

a) 15 + 10 = 25

b) 2 . 5 = 10

exemplo de uma sentença falsa

a) 10 + 3 = 18

b) 3 . 7 = 20

SENTEÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS

Sentenças abertas são aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos são chamados variáveis ou incógnitas.

exemplos

a) x + 4 = 9 (a variável é x)

b) x + y = 20 (as variáveis são x e y)

Sentenças fechada ou são aquelas que não possuem variáveis ou incógnitas.

a) 15 -5 = 10 (verdadeira)

b) 8 + 1 = 12 (falsa)

EQUAÇÕES

Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade

exemplos

a) x - 3 = 13 ( a variável ou incógnita x)

b) 3y + 7 = 15 ( A variável ou incógnita é y)

A expressão à esquerdas do sinal = chama-se 1º membro

A expressão à direita do sinal do igual = chama-se 2º membro


RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL


O processo de resolução está baseado nas propriedades das igualdades

1º Propriedade

Podemos somar (ou subtrair) um mesmo número dos dois membros da igualdade, obtendo uma sentença equivalente.

exemplos:

a) Resolver x - 3 = 5
solução
x - 3 +3 = 5 + 3
x + 0 = 8
x = 8


b) resolver x + 2 = 7

solução
x+2 -2 = 7 - 2
x + 0 = 5
x = 5

Baseado nessa propriedade,podemos concluir que: pode-se passar um termo de um membro para outro e troca-se o sinal desse termo.

exemplos

a) x - 3 = 5

x = x + 3

x = 8


b) x + 2 = 7

x = 7 - 2

x = 5

EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes equações

a) x + 5 = 8 ( R = 3)
b) x - 4 = 3 (R = 7)
c) x + 6 = 5 ( R = -1)
d) x -3 = - 7 (R= -4)
e) x + 9 = -1 (R=-10)
f) x + 28 = 11 (R=-17)
g) x - 109 = 5 (R= 114)
h) x - 39 = -79 (R=-40)
i) 10 = x + 9 (R=2)
j) 15 = x + 20 (R= -5)
l) 4 = x - 10 ( R= 14)
m) 7 = x + 8 ( R= -1)
n) 0 = x + 12 (R= -12)
o) -3 = x + 10 (R= -13)

2º Propriedade

Podemos multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma igualdade por um número diferentes de zero, obtendo uma sentença equivalente.

exemplo de resolução pelo modo prático

a) 3x =12

x = 12 /3

x = 4

b) x / 5 = 2

x = 2 . 5

x = 10

Importante !

Veja a equação -x = 5

interessa-nos valor de x e não o valor de -x então devemos multiplicar os dois membros da equação por -1


EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes equações
a) 3x = 15 (R=5)
b) 2x = 14 ( R=7)
c) 4x = -12 (R=-3)
d) 7x = -21 (R=-3)
e) 13x = 13 (R= 1)
f) 9x = -9 (R=-1)
g) 25x = 0 (R=0)
h) 35x = -105 (R=-3)
i) 4x = 1 (R=1/4)
j) 21 = 3x (R=7)
l) 84 = 6x (R=14)
m) x/3 =7 (R=21)
n) x/4 = -3 (R=-12)
o) 2x/5 = 4 (R=10)
p) 2x/3 = -10 (R=-15)
q) 3x/4 = 30 (R=40)
r) 2x/5 = -18 (R= -45)







METODO PRÁTICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES



Para resolver equação de 1° grau usaremos um método pratico seguindo o roteiro:

1) Isolar no 1° membro os termos em x e no 2° membro os termos que não apresentam x ( devemos trocar o sinal dos termos que mudam de membro para outro)

2) Reduzir os termos semelhantes

3) Dividir ambos os membros pelo coeficiente de x

Exemplos

1) 3X – 4 = 2X + 8
3X- 2X = 8 + 4
X = 12

2) 7X – 2 + 4 = 10 + 5X
7X – 5X = 10 + 2 – 4
7X – 5X = 10 + 2 – 4
2X = 8
X = 8/2
X= 4

3) 4(X + 3) =1
4X + 12 = 1
4X = 1 – 12
X = -11/4

4) 5(2x -4) = 7 ( x + 1) – 3
10x – 20 = 7x + 7 -3
10x – 7x = 7 -3 + 20
3x = 24
x = 24/ 3
x = 8

5) x/3 + x/2 = 15
2x / 6 + 3x / 6 = 90 / 6
2x + 3x = 90
5x = 90
x = 90 / 5
x = 18



EXERCICIOS

1)Resolva as equações

a) 6x = 2x + 16 (R:4)
b) 2x – 5 = x + 1 (R: 6)
c) 2x + 3 = x + 4 (R: 1)
d) 5x + 7 = 4x + 10 (R: 3)
e) 4x – 10 = 2x + 2 (R: 6)
f) 4x – 7 = 8x – 2(R:-5/4)
g) 2x + 1 = 4x – 7 (R:4)
h) 9x + 9 + 3x = 15 (R: ½)
i) 16x – 1 = 12x + 3 (R:1)
j) 3x – 2 = 4x + 9 (R:-11)
l) 5x -3 + x = 2x + 9 (R:3)
m) 17x – 7x = x + 18 (R: 2)
n) x + x – 4 = 17 – 2x + 1 ( 11/2)
o) x + 2x + 3 – 5x = 4x – 9 ( R:2)
p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x - 4 (R:2)
q) 5x + 4 = 3x – 2x + 4 (R: 0 )

2) Resolva as seguintes equações

a) 4x – 1 = 3 ( x – 1) (R: -2)
b) 3( x – 2) = 2x – 4 (R:2)
c) 2( x – 1) = 3x + 4 ( R: -6)
d) 3(x – 1) – 7 = 15 (R: 25/3)
e) 7 ( x – 4) = 2x – 3 (R: 5)
f) 3 ( x –2) = 4(3 – x) (R:18/7)
g) 3 ( 3x – 1) = 2 ( 3x + 2) ( R: 7/3)
h) 7 ( x – 2 ) = 5 ( x + 3 ) (R: 29/2)
i) 3 (2x – 1) = -2 ( x + 3) (R: -3/8)
j) 5x – 3( x +2) = 15 (R: 21/2)
k) 2x + 3x + 9 = 8(6 –x) (R:3)
l) 4(x+ 10) -2(x – 5) = 0 (R: -25)
m) 3 (2x + 3 ) – 4 (x -1) = 3 ( R: -5)
n) 7 (x – 1) – 2 ( x- 5) = x – 5 (R: -2)
o) 2 (3 – x ) = 3 ( x -4) + 15 (R: 3/5)
p) 3 ( 5 – x ) – 3 ( 1 – 2x) = 42 (R:10)
q) ( 4x + 6) – 2x = (x – 6) + 10 +14 (R:12)
r) ( x – 3) – ( x + 2) + 2( x – 1) – 5 = 0 ( R:6)
s) 3x -2 ( 4x – 3 ) = 2 – 3( x – 1) ( R ½)
t) 3( x- 1) – ( x – 3) + 5 ( x – 2) = 18 ( R: 4)
u) 5( x – 3 ) – 4 ( x + 2 ) = 2 + 3( 1 – 2x) (R:4)


3) Resolva as seguintes equações

a) 2x + 5 - 5x = -1 (R=2)
b) 5 + 6x = 5x + 2 (R=-3)
c) x + 2x - 1 - 3 = x (R=2)
d) -3x + 10 = 2x + 8 +1 (R= 1/5)
e) 5x - 5 + x = 9 + x (R=14/5)
f) 7x - 4 - x = -7x + 8 - 3x (R=12/16)
g) -x -5 + 4x = -7x + 6x + 15 (R=5)
h) 3x - 2x = 3x + 2 (R=-1)
i) 2 - 4x = 32 - 18x + 12 (R=3)
j) 2x - 1 = -3 + x + 4 (R= 2)
l) 3x - 2 - 2x - 3 = 0 (R= 5)
m) 10 - 9x + 2x = 2 - 3x (R=2)
n) 4x - 4 - 5x = -6 + 90 (R= -88)
o) 2 - 3x = -2x + 12 - 3x (R=5)

4) Resolva as seguintes equações

a) 7(x - 5) = 3 (x + 1) (R=19/2 ou 38/4)
b) 3 ( x - 2 ) = 4 (-x + 3) (R=18/7)
c) 2 (x +1) - (x -1) = 0 (R= -3)
d) 5(x + 1) -3 (x +2) = 0 (R= 1/2)
e) 13 + 4(2x -1) = 5 (x +2) (R=1/3)
f) 4(x + 5) + 3 (x +5)= 21 (R=-2)
g) 2 (x +5 ) - 3 (5 - x) =10 (R=3)
h) 8 ( x -1) = 8 -4(2x - 3) ( R= 7/4)




EQUAÇÕES QUE APRESENTAM DENOMINADORES

Vamos resolver as equações abaixo, eliminando inicialmente os denominadores

exemplos:

1) Resolver a equação:

x/3 + x/2 = 15

2x/6 + 3x/6 = 90/6

2x + 3x = 90

5x = 90

x = 90/5

x = 18

2) Resolver a equação

(x-1)/4 - (x - 3)/6 = 3

3(x - 1) / 12 - 2 (x - 3) / 12 = 36 / 12

3(x - 1) -2 (x - 3) =36

3x - 3 -2x + 6 =36

3x - 2x = 36 + 3 - 6

x = 33


EXERCÍCIOS

1) resolva as seguintes equações, sendo

a) x /2 - x/4 = 1 /2 (R:2)
b) x/2 - x/4 = 5 (R:20)
c) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)
d) x/5 + 1 = 2x/3 (R: 15/7)
e) x/2 + x/3 = 1 (R: 6/5)
f) x/3 + 4 = 2x (R: 12/5)
g) x/2 + 4 = 1/3 (R: -22/3)
h) 5x/3 - 2/5 = 0 (R: 6/25)
i) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)
j) X + X/2 = 15 (R:10)
l) 8x/3 = 2x - 9 (R: -27/2)
m) x/2 + 3/4 = 1/6 (R: -7/6)

2) Resolva as seguintes equações

a)x/2 - 7 = x/4 + 5 (R:48)
b) 2x - 1/2 = 5x + 1/3 (R: -5/18)
c) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)
d) x/6 + x/3 = 18 - x/4 (R: 24)
e) x/4 + x/6 + x/6 = 28 (R:48)
f) x/8 + x/5 = 17 - x/10 (R: 40)
g) x/4 - x/3 = 2x - 50 (R: 24)
h) 5x /2 + 7 = 2x + 4 ( R: -6)
i) x/4 - x/6 = 3 (R: 36)
j) 3x/4 - x/6 = 5 (R: 12)
l) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)
m) 2x - 7)/5 = (x + 2)/3 (R:31)
n) 5x/2 = 2x + (x - 2) / 3 (R: -4)
o) (x - 3)/4 - (2x - 1) / 5 = 5 (R:-37)




3) Resolva as seguintes equações

a) x/2 + x/3 = (x + 7)/3 (R: 14/3)
b) (x + 2) / 6 + (x +1)/4 = 6 (R: 13)
c) (x -2) /3 - (x + 1)/ 4 =4 (R:59)
d) (x - 1) /2 + (x - 2) /3 = (x -3)/4 (R: 5/7)
e) (2x- 3) / 4 - (2 - x)/3 = (x -1) / 3 (R: 13/6)
f) (3x -2) / 4 = (3x + 3) / 8
g) 3x + 5) / 4 - (2x - 3) / 3 = 3 (R: 9)
h) x/5 - 1 = 9 (R: 50)
i) x/3 - 5 = 0 (R: 15)
j) x/2 + 3x/5=6 (R:60/11)
l) 5x - 10 = (x+1)/2 (R:7/3)
m) (8x - 1) / 2 - 2x = 3 (R: 7/4)
o) (x - 1) /2 + (x - 3)/3 = 6 (R: 9)
p) (5x - 7)/2 = 1/2 + x ( R: 8/3)
q) (2x - 1) / 3 = x - (x - 1)/5 (R:-4)









PROBLEMAS DO 1° GRAU COM UMA VARIÁVEL



Chamamos problemas do 1º grau aqueles que são resolvidos por meio de uma equação do 1º grau.

Na resolução de problemas, você deve:

a) Representar a incógnita do problema por uma letra.

b) Armar a equação do problema.

c) Resolver a equação

d) verificar se a solução satisfaz as condições do problema.


Exemplo 1

O triplo de um número, diminuído de 12 é igual a 33. Qual é esse número

solução:

Triplo de um número === 3x
Diminuido de 12 ======3x -12
é igual a 33 =========3x - 12 = 33

Resolução

3x - 12 = 33

3x = 33 + 12

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15

Resposta: O número procurado é 15



Exemplo 2

Um número somado com o seu dobro é igual a 21. Qual é esse número

Solução:

Um número -----------------------x
Somado com seu dobro--------- x + 2x

é igual a 21 -----------------------x + 2x = 21


Resolução:
x + 2x = 21

3x = 21

x = 21 / 3

x = 7


Resposta: O número procurado é 7.


EXERCICIOS



1) O dobro de um número aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número? (R:17)

2) A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número? (R:12)

3) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos. (R:45 e 15)

4) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia? (R:15)

5) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número? (R:5)

6) O triplo de um número, mais dois,é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número? (R:-3)

7) O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado de 2. Qual é esse número? (R:6)
8) O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número mais 55. Qual é esse número? (R:40)
9) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? (R:13)
10) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número? (R:64)

11) Um número mais sua metade é igual a 15. Qual é esse número? (R:10)

12) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número? (R:40)

13) O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número? (R:4)

14) O dobro de um número menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número? (R:40)

15) Subtraindo 5 da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número? (R:60)

16) A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35 . Qual é esse número? (R:14)

17) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa? (R:30)

18) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são so empregados da fábrica? (R:108)

19) Flávia e Silvia têm juntas 21 anos. A idade de Sílvia é ¾ da idade de Flavia. Qual a idade de cada uma? (R:12 e 9)

20) A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é 3/5 da idade de Mário. Qual a idade de Mário? (R:25)

21) A diferença entre um número e os seus 2/5 é igual a 36. Qual é esse número? (R:60)

22) A diferença entre os 2/3 de um número e sua metade é igual a 6. Qual é esse número? (R:36)

23) Os 3/5 de um número aumentado de 12 são iguais aos 5/7 desse número. Qual é esse número? (R:105)

24) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta com a alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário? (R:450)

25) Lúcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestações. Na 1ª prestação, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2ªprestação , a terça parte e na ultima R$ 20,00. Quanto ele pagou pela camisa? (R:120)

26) Achar um número, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 é 124. (R:120)

27) Um número tem 6 unidades a mais que o outro. A soma deles é 76. Quais são esses números ? (R:35 e 41)

28) Um número tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles é 150. Quais são esses números ? (R:73 e 77)

29) Fábia tem 5 anos a mais que marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma? (R:22 e 17)

30) Marcos e Plínio têm juntos R$ 35.000,00. Marcos tem a mais que Plínio R$ 6.000,00. Quanto tem cada um? (R: 20500 e 14500)

31) Tenho 9 anos a mais que meu irmão, juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho? (R:44)
32) O perímetro de um retângulo mede 74 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem 5 cm a mais que a largura? (R:16 e 21)

33) Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Nós temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um? (R:70,50 e 36)

34) A soma de dois números consecutivos é 51. Quais são esses números? (R:25 e 26)

35) A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esse números? (R:72 e 73)

36) A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número? (R: 35 e 36)

37) A soma de três números consecutivos é igual a 54. Quais são esses números ? (R:17,18,19)

38) A soma de dois números inteiros e consecutivos é -31. Quais são esses números? (R:-16 e -13)
39) A soma de dois números impares consecutivos é 264. Quais são esses números? (R:131 e 133
40) O triplo de um número, mais 10, é igual a 136. Qual é esse número? (R:42)
41) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 33. Qual é esse numero? (R:9)

42) As idades de dois irmãos somam 27 anos e a idade do primeiro é o dobro da idade do segundo. Qual é esse número? (R:18 e 9)

43) Um número somado com sua quarta parte é igual a 20. Qual é esse número? (R:16)

44) A terça parte de um número diminuída de sua quinta parte é igual a 6. Qual é o número? (R:45)

45) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual da idade do mais velho? (R:54)

46) A diferença entre um número e os seus 3/5 é igual a 16. Qual é esse número? (R:40)

47) Em uma escola, um terço dos alunos são meninos e 120 alunos são meninas. Quantos alunos há na escola? (R:180)

48) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quanto quilograma pesa o tijolo? (R: 2 kg)

49) Multiplicando-se um número por 5 e adicionando-se 9 ao produto obtém-se 64. Qual é esse número? (R:11)

50) A soma de dois números consecutivos é 273. Quais são esses números? (R:136 e 137)

51) A soma de três números consecutivos é 156. Quais são esses números? (R:51,52,53)

52) Pensei em um número que multiplicado por 3 e adicionado a 4 dá 19. Esse número é: (R:5)

53) Um número somado com o seu triplo é igual a 120. Esse numero é: ( R:30)

54) A soma de dois números consecutivos é 153. O maior deles é: (R:76 e 77)

55) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número, mais 8. Esse número é (R:3)

56) Pensei em um número que somado com seu dobro e diminuído de 5 é igual a 37. Esse número é: (R:14)

57) O perímetro de um triangulo é 12 cm e as medidas dos lados são números consecutivos. Então, o menor lado mede: (R:3)

58) Três números pares e consecutivos têm por soma 60. O maior deles vale: (R:22)

59) Tenho 5 anos a mais que meu amigo e juntos temos 71 anos. Quantos anos eu tenho? (R:38)

60) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 145 pontos. A equipe A fez o dobro de pontos, menos 5, que a equipe B , Então, a equipe A marcou: (R:95)

61) Ari e Rui têm juntos R$ 840,00 A quantia de Ari é igual a ¾ da quantia de Rui. Logo, Rui tem: (R:480)

62) Se eu tivesse mais 5 anos estaria com o triplo da idade do meu irmão que tem 15 anos. Qual é a minha idade? (R:40)

63) Numa caixa há bolas brancas e pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do de preta, então o número de bolas brancas é (R:288)

64) Deseja-se cortar uma tira de couro de 120 cm de comprimento, em duas partes tais que o comprimento de uma seja igual ao triplo da outra . A parte maior mede: (R:90)

65) O numero que somado aos seus 2/3 resulta 30 é: (R:18)

66) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtém-se 3/5 de sua idade. A idade de minha filha em anos é: (R:15)

67) Qual o número que adicionado com sua metade dá 4,5? (R: 3)

68) Um número adicionado com sua décima parte dá 55. Qual é esse numero?

69) Os 2/3 de um número adicionado com o próprio número dá -10 . Qual é esse número?

70) Se adicionarmos um número à sua metade e à sua terça parte, obteremos 16,5 . Qual é esse numero? (R: 9)
71) Qual o número que acrescido a 10% de seu valor resulta em 1650?

72) Num certo ano, a produção de uma industria alcançou 720.000 unidades. Essa produção representou um aumento de 20% em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

73) Neste bimestre, a metade dos alunos da escola de Adriana obteve média acima de cinco, a terça parte da turma obteve media cinco e os outros 70 alunos alcançaram media inferior a cinco . Quantos alunos tem a escola de Adriana?

74) Qual o número que somado com a sua terça parte dá 16 ? (R: 16)

75) Um número somado com sua metade dá 16,5 . Que número é esse? (R: 11)

76) Adicionado um número com os seus 2/5 encontramos 28. Que número é esse?

77) Adicionando um número com sua metade e com a sua quarta parte obtemos 31,5. Qual é esse número?

78) Na Grécia antiga, Policrate, senhor absoluto do poder na ilha de Samos, perguntando a Pitágoras quantos alunos ele tinha, obteve a seguinte resposta : "A metade estuda Matemática, a quarta parte estuda os mistérios da natureza, a sétima parte medita em silencio e há ainda três mulheres " Quantos eram os alunos de Pitágoras? (R: 28 alunos)

79)Pedro é dois anos mais velhos que seu irmão. Como a soma das idades deles é 42, pode-se afirmar que, agora, Pedro tem?
a) 15 anos
b) 18 anos
c) 22 anos (X)
d) 25 anos
e) 28 anos

80) Um número inteiro positivo multiplicado pelo seu sucessor (consecutivo) é igual a 12. O numero é

a) 2
b) 3 X
c) 5
d) 6
e) 8